Solutions_to_GAMES101_Assignments
记录一下每个Assignment的设计思路，以及用到的知识
Assignment 01 构建投影矩阵
任务要求
给定三维空间中的三个点$v_0(2.0, 0.0, -2.0), v_1(0.0, 2.0, -2.0), v_2(-2.0, 0.0, -2.0)$，由其组成三角形线框。
- 构建旋转矩阵，实现当输入”A”和”D”的时候，三角形将绕z轴旋转（Bonus: 将绕z轴旋转改为绕任意过原点的轴旋转）；
- 构建透视投影矩阵。
知识点1：旋转矩阵
完成这次作业首先需要考虑在齐次坐标的框架下如何构造旋转矩阵，以及如何构造透视投影矩阵。
对于第一个问题，构造旋转矩阵，在讲义中提到过，齐次坐标系中物体绕z轴旋转的矩阵形式如下：
\[\mathbf{R}_z(\alpha)= \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]对附加问题，对任意过原点轴旋转，可以参见讲义中提到的Rodrigues旋转公式，绕过原点且方向为$\mathbf{n}$的轴，逆时针旋转$\alpha$的结果是
\[\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha) = \cos(\alpha) \mathbf{I} + (1-\cos(\alpha))\mathbf{n}\mathbf{n}^\mathrm{T} + \sin \alpha \begin{pmatrix}0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0\end{pmatrix}\]由于代码框架中的坐标系是齐次坐标系，因此还需要额外补充一个维度的结果。
知识点2：透视投影矩阵
透视投影矩阵由两部分组成：
\[\mathbf{M}_{persp} = \mathbf{M}_{othro} \mathbf{M}_{persp\rightarrow ortho}\]对于第一个部分，将透视投影变换为正交投影的矩阵，只需要按讲义中的方法处理即可：
\[\mathbf{M}_{persp\rightarrow ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]对于正交矩阵，实际上就是将近视口的图像收缩到标准画框大小的缩放变换矩阵，注意代码框架中提供的接口参数并不是直接的视口长和宽，而是宽高比和垂直可视角度，使用时还需要进行一步转化。
其他需要注意的地方
由于课程提供的代码框架与课堂介绍的代码框架不完全相同，差别主要在于视口的位置是不一样的。在课上，老师介绍的摄像机朝向是z轴负方向，但是代码框架中给的是朝向z轴正方向，因此如果直接按讲义上的方法构造矩阵，结果将会是显示的图像为倒像。解决办法是将代码框架中的朝向改为z轴负方向。