NURBS曲线曲面探索

19 Sep 2023

将NURBS曲线转化为圆锥曲线

在OCCT解析的STEP文件中将NURBS曲线转化为圆锥曲线

整个过程被规划为如下几步：

了解二维圆锥曲线的定义及分类
学习非均匀有理B样条曲线的定义、与圆锥曲线的关系
了解STEP格式中对于NURBS曲线的定义和OCCT对STEP文件解析后暴露的接口
设计算法对结果进行判断
讲曲线的结果推广到有规则几何形状的曲面的判定

存在问题

是否有需要定义空间中的圆锥曲线？如果有需要，那么应该如何定义
- 0906：应该不需要考虑，通过权系数+控制顶点就可以判断圆锥曲线结构了，另外首先只需要考虑圆弧的情况，其他情况是否要处理再议；
目前对于排查圆弧的想法：先把3控制顶点的下的二次有理Bezier表示圆弧和9点表示圆处理，然后再考虑更一般的情况。直线很好判断，控制顶点数量为2即可
- 0911：事实上常用来表示圆弧的是四点控制的三次有理Bezier曲线，通过今天新更新的部分内容就可以进行判断了
0911：整圆如何表示及对于更多控制节点的曲线/曲面判断是一个新问题

圆锥曲线

内容摘自wiki

非退化的圆锥曲线共有4类：圆、椭圆、抛物线、双曲线

方程：

圆：$x^2 + y^2 = a^2$
椭圆：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
抛物线：$y^2 = 4ax$
双曲线：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

如果用一般方程来表示任意圆锥曲线，则应为

\[Q(x, y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\]

其中参数 $A, B, C$ 不得皆等于0。

如果用矩阵的形式来表示，并利用齐次坐标，则应该有

\[\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B/2 & D/2\\ B/2 & C & E/2\\ D/2 & E/2 & F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0\]

记 $A_{33} = \begin{bmatrix} A & B/2
B/2 & C \end{bmatrix},\ A_Q = \begin{bmatrix} A & B/2 & D/2
B/2 & C & E/2
D/2 & E/2 & F \end{bmatrix}$ 。我们可以借助它们来判断圆锥曲线的类型：

若 $\det(A_Q) \ne 0$ ，则圆锥曲线 $Q$ 未退化：
- 若 $\det(A_{33}) > 0$ ，方程表示一个椭圆：
  - 若 $(A+C)\det(A_Q) < 0$ 时， $Q$ 是一个实椭圆；若 $(A+C)\det(A_Q) > 0$ 时， $Q$ 是一个虚椭圆。
  - 若 $A = C， B = 0$ 且 $D^2 + E^2 - 4AF >0$ 时， $Q$ 表示一个圆。
- 若 $\det(A_{33}) = 0$ ，方程表示一条抛物线。
- 若 $\det(A_{33}) < 0$ ，方程表示一条双曲线。
若 $\det(A_Q) = 0$ ，则圆锥曲线 $Q$ 发生退化：
- 若 $\det(A_{33}) > 0$ ，作为椭圆的退化， $Q$为一个点。
- 若 $\det(A_{33}) = 0$ ，作为抛物线的退化， $Q$ 为两条平行直线：
  - 若 $D^2 + E^2 > 4(A+C)F$ ， $Q$ 为两条不重合的平行直线。
  - 若 $D^2 + E^2 = 4(A+C)F$ ， $Q$ 为两条重合的平行直线。
  - 若 $D^2 + E^2 < 4(A+C)F$ ， $Q$ 直线不存在于实平面中。
- 若 $\det(A_{33}) < 0$ ，作为双曲线的退化， $Q$ 为两条相交直线（双曲线的渐近线）。

NURBS曲线的定义

几种NURBS曲线的特例：均匀有理B样条、准均匀有理B样条、分段Bezier曲线

三种等价的NURBS曲线方程表示：

有理分式表示： $k$ 次NURBS曲线可以表示为分段有理多项式矢函数 $\mathbf{p}(u) = \frac{\sum_{i = 0}^{n}\omega_i\mathbf{d}_iN_{i, k}(u)}{\sum_{i = 0}^{n}\omega_iN_{i, k}(u)} ,\quad 0 \le u \le 1$ 其中权因子 $\omega_i$ 需要满足 $\omega_0, \omega_n > 0$ ，其它 $\omega_i \ge 0$ 但是顺序的 $k$ 个 $\omega_i$ 不同时为 $0$ ； $\mathbf{d}i$ 为控制顶点， $N{i, k}$ 为根据de Boor-Cox 递推公式得到的 $k$ 次规范B样条基函数。
有理基函数表示：用分式表示的NURBS曲线可被改写成如下形式： $\mathbf{p}(u) = \sum_{i = 0}^n\mathbf{d}_iR_{i, k}(u), \quad 0\le u \le 1 \\ R_{i, k}(u) = \frac{\omega_iN_{i, k}(u)}{\sum_{j = 0}^{n}\omega_jN_{j, k}(u)}$
齐次坐标表示：如果给定一组控制顶点 $\mathbf{d}_i = [x_i\ y_i]$ 及相联系的权因子 $\omega_i$ ，那么可以按下述步骤定义 $k$ 次NURBS曲线：
- 确定所给控制顶点 $\mathbf{d}_i$ 的带权控制点： $\mathbf{D}_i = \begin{bmatrix} \omega_i\mathbf{d}_i&\omega_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega_ix_i&\omega_iy_i&\omega_i \end{bmatrix}$
- 用带权控制顶点 $\mathbf{D}_i$ 定义一条三维的 $k$ 次非有理B样条曲线 $\mathbf{P}(u) = \sum_{i = 0}^n\mathbf{D}_iN_{i, k}(u)$
- 将它投影到 $\omega = 1$ 平面上(注: $\omega \ne 0$ 时 $H{[x\ y\ \omega] = [x/\omega\ y/\omega]}$ )： $\mathbf{p}(u) = H\{\mathbf{P}(u)\}$

权因子 $\omega$ 对于曲线形状的影响

借助“在投影变换中共线四点交比具有不变性”这一性质，可以推出如下两条权因子对曲线性质影响的结论：

若固定所有控制顶点及除了 $\omega_i$ 以外的所有其他权因子不变，当 $\omega_i$ 变化时，受其影响的曲线部分 $\mathbf{p}(u_0)$ 点也会随之移动，它在空间中扫描出一条过控制顶点 $\mathbf{d}_i$ 的直线；
当 $\omega_i$ 增大的时候， $\mathbf{p}(u_0)$ 将被拉向 $\mathbf{d}_i$ ；反之，当 $\omega_i$ 减小的时候， $\mathbf{p}(u_0)$ 会被推离 $\mathbf{d}_i$ 。

圆弧的二次NURBS表示

同一段圆弧的NURBS表示不唯一 ，因此不存在一种完美的公式倒推是否为圆弧的方法；但是通过“控制顶点+基函数+权系数”的组合反过来判断每条NURBS是否是圆弧的方法也很不现实，原因在于基函数的类型太多了。但是考虑到数模是通过设计软件产生的，因此不存在过于复杂的圆弧表示结构。通过观察stp文件的实际存储格式，结合几篇论文中的结果以及书籍中的定义，总结出了如下几种常用的用于表示圆弧/整个圆的曲线：

由三个控制点决定的二次有理Bezier曲线；
由四个控制点决定的三次有理Bezier曲线；
整圆（待更新，目前了解到的有9点与7点格式）

三个控制点决定的有理二次Bezier曲线

如果给定三个控制点 $\mathbf{b}_0, \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2$ 及相联系的三个权因子 $\omega_0, \omega_1, \omega_2$ ，即可得到有理二次Bezier曲线的表示形式：

\[\mathbf{p} = \mathbf{p}(u) = \frac{(1 - u)^2\omega_0\mathbf{b}_0 + 2u(1 - u)\omega_1\mathbf{b}_1 + u^2\omega_2\mathbf{b}_2}{(1 - u)^2\omega_0 + 2u(1 - u)\omega_1 + u^2\omega_2}, \quad 0 \le u \le 1\]

具体对应的圆锥曲线类型则应当考察分母部分 $\omega(u) = (\omega_0 - 2\omega_1 + \omega_2)u^2 + 2(\omega_1 - \omega_0)u + \omega_0$ 的结构，讨论判别式的正负从而确定是哪种圆锥曲线。在标准情况下 $\omega_0 = \omega_2 = 1$ ，因此此时只需要对 $\omega_1$ 进行讨论：

$\omega_1^2 < 1 \Rightarrow$ 椭圆
$\omega_1^2 = 1 \Rightarrow$ 抛物线
$\omega_1^2 > 1 \Rightarrow$ 双曲线

对于圆弧，由于对称性的要求及弦切角定理，可以推出当 $\omega_1 = \cos \theta$ 时曲线为圆弧，其中 $\theta = \angle \mathbf{b}_0\mathbf{b}_1\mathbf{b}_2 / 2$ （详细证明见The NURBS Book中的7.3节）。

四个控制点决定的有理三次Bezier曲线

这种情况其实可以看做是对前一种情况的加点升阶操作，通过充要条件的判定就可以判断是否为圆弧，（具体内容见计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条（修订版）一书10.4节）：

假定四个控制点分别为 $\mathbf{d}_0, \mathbf{d}_1, \mathbf{d}_2, \mathbf{d}_3$ ，对应的权系数为 $\omega_0, \omega_1, \omega_2, \omega_3$ 则由其表示的三次有理Bezier曲线是张角为 $0 < \theta < 4\pi/3$ 的圆弧的充要条件是：

四个控制点共面;
$\angle \mathbf{d}_1\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3 = \angle \mathbf{d}_2\mathbf{d}_3\mathbf{d}_0 = \theta/2 \in (0, 2\pi/3)$;

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3

- 2

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_1

\cos(\theta/2))(

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3

- 2

\mathbf{d}_2\mathbf{d}_3

\cos(\theta/2)) =

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_1

\mathbf{d}_2\mathbf{d}_3

$\frac{

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3

(

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3

- 2

\mathbf{d}_2\mathbf{d}_3

\cos(\theta/2))}{3

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_1

^2} = \frac{\omega_1^2}{\omega_0\omega_2}$

$\frac{

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3

(

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_3

- 2

\mathbf{d}_0\mathbf{d}_1

\cos(\theta/2))}{3

\mathbf{d}_2\mathbf{d}_3

^2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1\omega_3}$

此外，因为有理三次Bezier曲线是可以表示半圆的，因此可以用6个点，分成两组四点的有理三次Bezier曲线来表示一整个圆，其中两个圆上的点被两组曲线共用。

STEP文件中NURBS曲线的表示格式

STEP中提供了NURBS的参数

NURBS曲面的基础知识

同NURBS相比，NURBS曲面增加的内容并不算多，只需要考虑成沿两个方向的曲线族即可。严格的曲面定义为：

\[\mathbf{p}(u, v) = \frac{\sum_{i = 0}^{m}\sum_{j = 0}^{n}\omega_{ij}\mathbf{d}_{ij}N_{i, k}(u)N_{j, l}(v)}{\sum_{i = 0}^{m}\sum_{j = 0}^{n}\omega_{ij}N_{i, k}(u)N_{j, l}(v)}, \quad 0\le u, v\le 1\]

同样的，用来如果是用来描述平面、圆锥曲面、球面的话，最多只需要用到双三次有理Bezier曲面即可，控制点数量也只需要到达最低标准即可。

通过分析 $u-v$ 方向的曲线属于哪种基本曲线，就可以判断出来得到的曲面结构：

直线+直线：平面
直线+圆：圆柱
圆+圆：球

可以用直纹面来表示平面、圆柱或圆锥

NURBS曲线曲面探索

将NURBS曲线转化为圆锥曲线

存在问题

圆锥曲线

NURBS曲线的定义

权因子 $\omega$ 对于曲线形状的影响

圆弧的二次NURBS表示

三个控制点决定的有理二次Bezier曲线

四个控制点决定的有理三次Bezier曲线

STEP文件中NURBS曲线的表示格式

NURBS曲面的基础知识

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